14935. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром 1. На ребре AD
как на диаметре построена сфера. Вторая сфера, лежащая внутри куба, касается первой сферы и граней трёхгранного угла с вершиной A_{1}
. Найдите радиус второй сферы.
Ответ. 1-\frac{1}{\sqrt{2}}
.
Указание. Пусть O
— центр второй сферы, R
— её радиус, K
— середина ребра AD
. Точка O
лежит на диагонали A_{1}C
куба, расстояние от неё до всех граней угла A
равно R
, а расстояние до точки K
равно R+\frac{1}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1984, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1984 с. 139, задача 5, вариант 2