14937. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром 1. На ребре AD
как на диаметре построена сфера. Вторая сфера, центр которой находится внутри куба, касается первой сферы и граней трёхгранного угла куба с вершиной B_{1}
. Найдите радиус второй сферы.
Ответ. \frac{1}{2}(3-\sqrt{5})
.
Указание. Пусть O
— центр второй сферы, R
— её радиус, K
— середина ребра AD
. Точка O
лежит на диагонали B_{1}D
куба, расстояние от неё до точки K
равно R+\frac{1}{2}
, а расстояние до граней угла B_{1}
равно R
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1984, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1984 с. 140, задача 5, вариант 3