14939. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
известно, что AB=1
, AD=\sqrt{3}
, AA_{1}=2
. Через вершины B_{1}
, D
и середину M
ребра BC
проведена плоскость \alpha
. Найдите двугранный угол между плоскостью \alpha
и плоскостью грани ABCD
.
Ответ. \arctg\left(2\sqrt{\frac{7}{3}}\right)
.
Решение. Точки B_{1}
, D
и M
лежат в плоскости \alpha
, поэтому плоскости \alpha
и ABCD
пересекаются по прямой DM
. Опустим перпендикуляр BH
на прямую DM
. По теореме о трёх перпендикулярах B_{1}H\perp DM
, поэтому BHB_{1}
— линейный угол искомого двугранного угла.
По теореме Пифагора
DM=\sqrt{CD^{2}+CM^{2}}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Прямоугольные треугольники BHM
и DCM
подобны, поэтому
\frac{BH}{BM}=\frac{DC}{DM}~\Rightarrow~BH=\frac{BM\cdot DC}{DM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{7}}.
Следовательно
\tg\angle BHB_{1}=\frac{BB_{1}}{BH}=\frac{2}{\sqrt{\frac{3}{7}}}=2\sqrt{\frac{7}{3}}~\Rightarrow~\angle BHB_{1}=\arctg\left(2\sqrt{\frac{7}{3}}\right).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1985, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985 с. 141, задача 5, вариант 2