14940. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
сторона основания ABCD
равна 1, высота пирамиды равна 2. Точки M
и N
— середины рёбер SB
и CD
соответственно. Через вершину A
и точки M
и N
проведена плоскость \alpha
. Найдите двугранный угол между плоскостью \alpha
и плоскостью основания ABCD
.
Ответ. \arctg\frac{4}{\sqrt{5}}
.
Указание. Пусть SO
— высота пирамиды, Q
— точка пересечения плоскости \alpha
с прямой BC
, P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на плоскость основания. Тогда BQ=2
, точка P
лежит на диагонали BD
и BP=\frac{1}{4}BD
. Пусть L
— основание перпендикуляра, опущенного из точки P
на прямую AN
, F
— точка пересечения AN
и BD
. Из подобия прямоугольных треугольников PLF
и AOF
получаем, что PL=\frac{\sqrt{5}}{4}
. Угол MLP
— искомый.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1985, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985 с. 141, задача 5, вариант 3