14941. Ребро куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно 1. Точка M
— середина ребра C_{1}D_{1}
, точка N
выбрана на ребре AB
, причём AN=2NB
. Через вершину D
и точки M
и N
проведена плоскость \alpha
. Найдите двугранный угол между плоскостью \alpha
и плоскостью грани ABCD
.
Ответ. \arctg\frac{2\sqrt{13}}{3}
.
Указание. Пусть плоскость \alpha
пересекает прямые CC_{1}
и BC
в точках K
и P
соответственно, CL
— перпендикуляр, опущенный из точки C
на прямую DN
. Тогда CK=2
, CP=\frac{3}{2}
, CL=\frac{2}{\sqrt{13}}
; угол KLC
— искомый.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1985, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985 с. 142, задача 5, вариант 4