14942. Сторона основания ABC
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}D_{1}
равна 1, боковые рёбра AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
равны 2. Плоскость \alpha
проходит через вершины A
, B
и C_{1}
; плоскость \beta
проходит через вершины B_{1}
, C
и середину M
ребра AA_{1}
. Плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по прямой l
. Найдите угол между прямой l
и плоскостью основания ABC
.
Ответ. \arctg\frac{2}{\sqrt{13}}
.
Решение. Плоскость грани BB_{1}C_{1}C
пересекается с плоскостями \alpha
и \beta
по прямым BC_{1}
и B_{1}C
соответственно. Отрезки BC_{1}
и B_{1}C
пересекаются в центре K
грани BB_{1}C_{1}C
, поэтому точка K
лежит на прямой l
. Пусть прямая B_{1}M
, лежащая в плоскости \beta
, пересекает прямую AB
в точке N
. Учитывая, что AM
и BB_{1}
параллельны и AM=\frac{1}{2}BB_{1}
, находим BN=2AB=2
.
Прямая AB
лежит в плоскости \alpha
, поэтому N
— общая точка плоскостей \alpha
и \beta
. Значит, точка N
лежит на прямой l
.
Опустим из точки K
перпендикуляр KL
на плоскость ABC
. Боковые рёбра призмы перпендикулярны плоскости основания, а K
— середина отрезка BC_{1}
, поэтому прямая KL\parallel CC_{1}
, L
— середина BC
и KL=\frac{1}{2}CC_{1}=1
. В треугольнике BNL
известно, что
BL=\frac{1}{2},~BN=2,~\angle LBN=60^{\circ},
поэтому по теореме косинусов находим
NL=\sqrt{4+\frac{1}{4}-2\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Прямая NL
— ортогональная проекция прямой l
на плоскость ABC
. Значит, острый угол KNL
прямоугольного треугольника NLK
— искомый угол прямой l
с плоскостью ABC
. Из прямоугольного треугольника NLK
находим, что
\tg\angle KNL=\frac{KL}{NL}=\frac{1}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{13}}.
Следовательно,
\angle KNL=\arctg\frac{\sqrt{13}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1986, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986 с. 142, задача 5, вариант 1