14943. Сторона основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равна 1, высота пирамиды равна 2. Плоскость \alpha
проходит через вершины A
, S
и середину M
ребра BC
, плоскость \beta
проходит через вершину B
и середины K
и L
рёбер AS
и CS
. Плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по прямой l
. Найдите угол между прямой l
и плоскостью основания ABCD
.
Ответ. \arctg\frac{4}{\sqrt{58}}=2\sqrt{\frac{2}{29}}
.
Решение. Пусть K
и L
— середины рёбер SA
и SC
соответственно, P
— точка пересечения прямых BL
и SM
. Точка P
лежит и плоскости \alpha
, так как эта точка лежит на прямой SM
, лежащей в плоскости \alpha
, и в плоскости \beta
, так как она лежит на прямой BL
, лежащей в плоскости \beta
. Следовательно, точка P
лежит на прямой l
пересечения этих плоскостей. Очевидно, точка K
тоже лежит на прямой l
, Значит, прямая KP
совпадает с прямой l
.
Пусть прямые CD
и AM
пересекаются в точке N
. Треугольники CMN
и BMA
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому MN=AM
. Пусть прямые KP
и AM
, лежащие в плоскости \beta
, пересекаются в точке N'
. Поскольку BL
и SM
— медианы треугольника BSC
, то \frac{MP}{PS}=\frac{1}{2}
. По теореме Менелая
1=\frac{SK}{KA}\cdot\frac{AN'}{N'M}\cdot\frac{MP}{PS},~\mbox{или}~1=\frac{1}{1}\cdot\frac{AN'}{N'M}\cdot\frac{2}{1}~\Rightarrow~\frac{AN'}{N'M}=2,
т. е. MN'=AM=MN
. Следовательно, точка N'
совпадает с N
, и поэтому, точка N
лежит на прямой l
.
Опустим перпендикуляры KF
и FQ
на прямые AC
и CD
соответственно. Тогда FN
— ортогональная проекция наклонной KN
на плоскость ABCD
, поэтому искомый угол — это угол KNF
. При этом,
CQ=TQ=\frac{3}{4}AD=\frac{3}{4},~NQ=CN+CQ=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4},
FN=\sqrt{FQ^{2}+NQ^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{49}{16}}=\frac{\sqrt{58}}{4}.
Значит,
\tg\angle KNF=\frac{KF}{FN}=\frac{1}{\frac{\sqrt{58}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{58}}=2\sqrt{\frac{2}{29}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1986, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986 с. 143, задача 5, вариант 2