14945. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскость \alpha
проходит через вершины A
, B_{1}
и D_{1}
, плоскость \beta
проходит через вершины A_{1}
, C_{1}
и середину M
ребра BC
. Плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по прямой l
. Найдите угол между прямой l
и плоскостью грани ABCD
.
Ответ. \arctg\frac{4}{\sqrt{10}}
.
Указание. Пусть L
и K
— центры граней A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и ABCD
соответственно, N
— точка пересечения прямых, проходящих через точки A
и M
и параллельных прямым BD
и AC
соответственно. Прямая l
проходит через точки L
и N
, KN=\sqrt{\frac{5}{8}}
, угол LNK
— искомый.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1986, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986 с. 144, задача 5, вариант 4