14946. В пирамиде ABCD
ребро DC
перпендикулярно плоскости основания ABC
, AB=3\sqrt{3}
, BC=3
, DC=\sqrt{13}
, \angle ACB=60^{\circ}
. Центр сферы радиуса 5 находится в вершине D
. Найдите длину линии пересечения сферы с основанием ABC
.
Ответ. \frac{\pi}{\sqrt{3}}
.
Решение. По теореме синусов из треугольника ABC
получаем
\frac{\sin\angle CAB}{BC}=\frac{\sin\angle ACB}{AB}~\Rightarrow~\sin\angle CAB=\frac{BC\sin\angle ACB}{AB}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\angle CAB=30^{\circ}.
Следовательно, треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине B
, AC=2BC=6
.
Пусть L
и M
— точки пересечения сферы с лучами CA
и CB
соответственно. Плоскость ABC
пересекает сферу по окружности, центр которой находится в точке C
. Обозначим через R
радиус этой окружности. Из прямоугольного треугольника DCL
находим
R=CL=\sqrt{DL^{2}-DC^{2}}=\sqrt{5^{2}-(\sqrt{13})^{2}}=\sqrt{25-13}=2\sqrt{3}.
Учитывая, что BC=3\lt2\sqrt{3}=R\lt AC
, получаем, что точка L
лежит на отрезке AC
, точка M
— на продолжении стороны CB
за точку B
, а точка K
пересечения окружности с прямой AB
— на отрезке AB
, причём CK=R=2\sqrt{3}
.
Из прямоугольного треугольника CBK
находим, что
\cos\angle BCK=\frac{BC}{CK}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}~\Rightarrow~\angle BCK=30^{\circ}~\Rightarrow~\angle KCL=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}.
Следовательно, длина дуги LK
равна
R\cdot\frac{\pi}{6}=2\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1987, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1987 с. 145, задача 5, вариант 1