14950. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основанием ABC
равны 1. Призма AKLA_{2}K_{2}L_{2}
с боковыми рёбрами AA_{2}
, KK_{2}
, LL_{2}
симметрична призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
относительно точки A
. Точка E
лежит на отрезке AK
, AE:EK=1:3
, точка F
лежит на отрезке K_{2}L_{2}
, K_{2}F:FL_{2}=3:5
. Найдите отрезок, который получается при пересечении прямой EF
и призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{91}}{24}
.
Решение. Опустим из точки E
перпендикуляр EG
на прямую KL
. Поскольку EK=\frac{3}{4}AK
, то KG=\frac{3}{8}KL
, поэтому прямая GF
параллельна боковым рёбрам обеих призм. Проведём через точки E
, G
и F
плоскость. Прямая EG
параллельна высоте симметричных треугольников ABC
и AKL
, поэтому она пересечёт AB
и BC
в точках E_{1}
и G_{1}
, для которых AE_{1}=AE
, BG_{1}=KG
. В сечении плоскостью EGF
призмы AKLA_{2}K_{2}L_{2}
получается прямоугольник EGFH
со сторонами EG=\frac{3\sqrt{3}}{8}
, GF=1
и диагональю
EF=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)^{2}+1^{2}}=\frac{\sqrt{91}}{8}.
Призму ABCA_{1}B_{1}C_{1}
эта плоскость пересечёт по прямоугольнику E_{1}H_{1}F_{1}G_{1}
, симметричному EGFH
относительно середины отрезка EE_{1}
, причём
EE_{1}=AE\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2}{3}EG.
Пусть прямая EF
пересекает стороны прямоугольника E_{1}H_{1}F_{1}G_{1}
в точках S
и T
. Тогда ST
— искомый отрезок. Прямоугольные треугольники EE_{1}T
и EGF
подобны с коэффициентом \frac{EE_{1}}{EG}=\frac{2}{3}
, поэтому
E_{1}T=\frac{2}{3}GF=\frac{2}{3},~H_{1}T=E_{1}H_{1}-E_{1}T=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Тогда прямоугольные треугольники SH_{1}T
и EGF
подобны с коэффициентом \frac{H_{1}T}{GF}=\frac{1}{3}
. Следовательно,
ST=\frac{1}{3}EF=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{91}}{8}=\frac{\sqrt{91}}{24}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1988, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988 с. 147, задача 5, вариант 1.1