14960. В основании треугольной пирамиды ABCD
лежит правильный треугольник ABC
со стороной 1. Ребро AD
перпендикулярно плоскости основания, AD=1
. Точка M
— середина ребра BD
. Через прямую MC
параллельно высоте AH
треугольника ABC
проведена плоскость \alpha
. Найдите угол между плоскостью \alpha
и плоскостью ABD
.
Ответ. \arctg\frac{\sqrt{30}}{30}
.
Указание. Плоскость \alpha
пересекает ребро AD
в точке N
, для которой AN=\frac{1}{3}
. Через вершину C
проведём перпендикулярную MN
плоскость. Пусть P
и Q
— точки пересечения этой плоскости с AB
и MN
соответственно. Треугольник CPQ
прямоугольный, а угол PQC
— искомый. Тангенс этого угла равен \frac{CP}{PQ}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1989, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1989 с. 153, задача 5, вариант 3