14962. В основании прямой треугольной призмы ABCA'B'C'
лежит правильный треугольник ABC
со стороной \frac{4}{\sqrt{3}}
, высота призмы равна 3. Пусть K
— точка пересечения диагоналей BC'
и B'C
боковой грани BB'C'C
. Сфера, центр которой принадлежит призме, касается граней ABC
, AA'B'B
, AA'C'C
и прямой A'K
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{4}{5}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра BC
. Поскольку сфера касается граней AA'B'B
и AA'C'C
, точка её касания с плоскостью ABC
лежит на медиане AM
треугольника ABC
. Плоскость AA'M
содержит точку K
и делит двугранный угол с ребром AA'
пополам, поэтому центр O
сферы принадлежит этой плоскости.
Обозначим через N
, R
и P
точки касания сферы с плоскостями ABC
, AA'B'B
и прямой A'K
соответственно. Тогда OR
и ON
— перпендикуляры к плоскостям AA'B'B
и ABC
, причём точка N
лежит на отрезке AM
, а OP
— перпендикуляр к прямой A'K
.
Проведём через точки O
, N
и R
плоскость. Пусть она пересечёт прямую AB
в точке T
. Прямая AB
перпендикулярна пересекающимся прямым OR
и ON
плоскости ORN
, поэтому прямая AB
перпендикулярна плоскости ORN
и, в частности, прямой NT
. Четырёхугольник ORTN
— квадрат со стороной, равной радиусу сферы (обозначим его через r
). Из прямоугольного треугольника ANT
получаем AN=2NT=2r
.
Рассмотрим сечение призмы и сферы плоскостью AA'M
. Пусть L
— точка пересечения прямых A'K
и AM
. Отрезок KM
— средняя линия треугольника AA'L
, поэтому
AL=2AM=2\cdot\frac{BC\sqrt{3}}{2}=2\cdot\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}}{2}=4.
Обозначим \angle OLA=\beta
. Плоскость сечения пересекает сферу по окружности, вписанной в угол A'LA
, поэтому OL
— биссектриса угла A'LA
. Тогда \angle A'LA=2\beta
. Из прямоугольного треугольника A'AL
находим, что
A'L=\sqrt{AL^{2}+A'A^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5.
Значит,
\cos2\beta=\frac{AL}{A'L}=\frac{4}{5}~\Rightarrow~\sin2\beta=\frac{3}{5}~~\Rightarrow~\ctg\beta=\frac{1+\cos2\beta}{\sin2\beta}=\frac{1+\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}=3.
Тогда из треугольника ONL
получаем
NL=ON\ctg\beta=3r,
а так как
4=AL=AN+NL=2r+3r=5r,
то r=\frac{4}{5}
.
Докажем, что это значение r
удовлетворяет условию задачи. Действительно,
AN=2r=\frac{8}{5}\lt2=AM,
поэтому центр O
сферы действительно лежит внутри призмы.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1990, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990 с. 154, задача 5, вариант 1