14963. Квадрат ABCD
со стороной 1 является основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D'
, боковые ребра AA'
, BB'
, CC'
, DD'
равны 4. Сфера, центр которой лежит внутри параллелепипеда, касается граней ABCD
, AA'B'B
, AA'D'D
и прямой A'C
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Указание. Пусть O
— центр сферы, r
— её радиус, K
— точка касания сферы с плоскостью основания ABCD
. Точка O
лежит в плоскости A'AC
на расстоянии r\sqrt{2}
от прямой A'A
, точка K
лежит на диагонали AC
основания. Пусть угол C
прямоугольного треугольника A'AC
равен 2\alpha
, то \cos2\alpha=\frac{AC}{A'C}=\frac{1}{3}
. Поскольку точка O
лежит на биссектрисе угла ACA'
, то AC=AK+KC=r(\sqrt{2}+\ctg\alpha)
. Отсюда, вычислив \ctg\alpha
, можно найти r
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1990, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990 с. 155, задача 5, вариант 2