14964. В основании правильной треугольной пирамиды SABC
лежит равносторонний треугольник ABC
со стороной 3\sqrt{3}
, высота SH
пирамиды равна 2. Сфера, центр которой лежит внутри пирамиды, касается граней ABC
, SAB
, SAC
и высоты SH
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{3}{5}
.
Указание. Пусть Q
— середина ребра BC
. Центр O
данной сферы и высота SH
лежат в плоскости ASQ
. Пусть K
и L
точки касания сферы с плоскостью основания ABC
и высотой SH
соответственно. Тогда K
принадлежит отрезку AQ
, а четырёхугольник OKHL
— квадрат со стороной, равной радиусу r
сферы. Центр O_{1}
вписанного в пирамиду шара совпадает с точкой пересечения прямых AO
и SH
, его радиус R
равен \frac{3}{4}
. Если обозначить \angle OAK=\alpha
, то \tg\alpha=\frac{R}{AH}=\frac{1}{4}
. Поскольку AK=r\ctg\alpha
, KH=r
, AK+KH=AH=3
, то отсюда находим r
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1990, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990 с. 155, задача 5, вариант 3