14965. В основании правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит квадрат ABCD
со стороной 1, высота пирамиды равна 2\sqrt{3}
. Сфера, центр которой лежит внутри пирамиды, касается граней ABCD
, SCB
, SCD
и ребра SA
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{2\sqrt{3}}{7}
.
Указание. Центр O
искомой сферы, радиус OP
, проведённый в точку касания P
с плоскостью основания ABCD
, и высота SH
пирамиды лежат в плоскости SCA
. Центр O_{1}
вписанного в пирамиду шара совпадает с точкой пересечения прямых CO
и SH
, а его радиус равен \frac{\sqrt{3}}{4}
. Отсюда, если \angle OCP=\alpha
, то \tg\alpha=\frac{\sqrt{6}}{4}
, CP=OP\ctg\alpha=\frac{4r}{\sqrt{6}}
, где r
— искомый радиус. В то же время, если \angle SAP=2\beta
, то \cos2\beta=\frac{1}{5}
. Поскольку AO
— биссектриса угла SAP
, то AP=OP\ctg\beta=\frac{r\sqrt{6}}{2}
. Замечая, что AP+CP=AC
, получаем уравнение относительно r
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1990, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990 с. 156, задача 5, вариант 4