1497. Через произвольную точку окружности, вписанной правильный треугольник, проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника и разбивающие его на три треугольника и три параллелограмма. Докажите, что сумма площадей этих треугольников равна сумме площадей параллелограммов.
Решение. Пусть точка M
лежит на вписанной окружности равностороннего треугольника ABC
, A_{1}
— точка касания окружности со стороной BC
. Предположим, что прямая, проходящая через точку M
параллельно AC
, пересекает стороны AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно, а вписанную окружность — в точке E
, отличной от M
; прямая, проходящая через точку M
параллельно BC
, пересекает сторону AB
в точке L
(см.рисунок).
Обозначим BL=x
, LP=y
, AP=z
. Тогда
BQ=BP=x+y,~MQ=BL=x,~AB=x+y+x,~BA_{1}=\frac{1}{2}BC=\frac{x+y+z}{2},~
QA_{1}=BA_{1}-BQ=\frac{x+y+z}{2}-(x+y)=\frac{z-x-y}{2},
а EQ=PM=PL=y
, так как отрезки EQ
и PM
симметричны относительно биссектрисы угла B
.
По теореме о касательной и секущей QE\cdot QM=QA_{1}^{2}
, или
yx=\frac{(z-x-y)^{2}}{4}~\Leftrightarrow~4xy=x^{2}+y^{2}+x^{2}+2xy-2xz-2yz~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xy+2xz+2yz~\Leftrightarrow~\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{y^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{z^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{xy\sqrt{3}}{2}+\frac{xz\sqrt{3}}{2}+\frac{yz\sqrt{3}}{2}.
Левая часть полученного равенства — сумма площадей равносторонних треугольников со сторонами x
, y
, z
, а правая — сумма площадей параллелограммов со сторонами x
и y
, x
и z
, y
и z
и углом 60^{\circ}
между ними.
Что и требовалось доказать.