14970. Дан куб ABCDA'B'C'D'
с ребром 10. Точки P
, Q
и R
лежат на лучах DD'
, DA
и DC
соответственно. Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR
, если DP=DQ=DR=21
.
Ответ. \frac{81\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Поскольку точки Q
и R
лежат в секущей плоскости, середина M
отрезка QR
тоже лежит в секущей плоскости. Тогда в этой плоскости лежит точка N
пересечения прямой PM
с плоскостью грани A'B'C'D'
и точка F
пересечения прямых PM
и BB'
. Из параллельности плоскостей A'B'C'D'
и ABCD
следует, что D'N\parallel DM
и KL\parallel A'C'
. Значит, точка N
лежит на прямой D'B'
.
Прямоугольный треугольник PD'N
подобен прямоугольному треугольнику PDM
с коэффициентом \frac{DD'}{PD}=\frac{11}{21}
, поэтому
D'N=\frac{11}{21}DM=\frac{11}{21}\cdot\frac{1}{2}QR=\frac{11}{21}\cdot\frac{1}{2}\cdot DQ\sqrt{2}=\frac{11}{21}\cdot\frac{1}{2}\cdot21\sqrt{2}=\frac{11\sqrt{2}}{2}.
Значит,
NB'=D'B'-D'N=10\sqrt{2}-\frac{11\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}~\Rightarrow~KL=2KN=2NB'=9\sqrt{2}.
Аналогично получим, что KF=LF=9\sqrt{2}
. Таким образом, сечение данного куба плоскостью PQR
— равносторонний треугольник KLF
со стороной 9\sqrt{3}
. Следовательно,
S_{\triangle KLF}=\frac{KL^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{(9\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{81\sqrt{3}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1992, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1992 с. 159, задача 5, вариант 2