14972. В треугольной пирамиде ABCD
грани ABC
и ABD
перпендикулярны, AD=BD=\sqrt{2}
, AC=BC=AB=2
. Точка K
лежит на луче CA
, KC=4
, а точка M
вместе с точками D
, C
и серединой AB
образуют прямоугольник. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD
плоскостью, проходящей через точки M
и K
параллельно AB
.
Ответ. \frac{\sqrt{13}}{12}
.
Решение. Плоскость ABC
проходит через прямую AB
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K
, поэтому секущая плоскость пересекает плоскость ABC
по прямой l
, проходящей через точку K
параллельно AB
. Опустим перпендикуляр CL
из вершины C
равностороннего треугольника ABC
на прямую l
. Этот перпендикуляр пересекает отрезок AB
, параллельный l
, в его середине H
.
Плоскости ABD
и ABC
перпендикулярны, поэтому высота данной пирамиды лежит в плоскости ABD
, а значит, совпадает с высотой DH
равнобедренного треугольника ABD
, причём
DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=1.
Точки L
и M
лежат в секущей плоскости, поэтому в этой плоскости лежит прямая LM
. Прямые LM
и DH
лежат в плоскости параллельных прямых MC
и DH
, поэтому прямая LM
, лежащая в секущей плоскости, пересекает прямые CD
и DH
в некоторых точках P
и Q
соответственно, которые тоже лежат в секущей плоскости.
Секущая плоскость и плоскость ABD
проходят через параллельные прямые l
и AB
, поэтому они пересекаются по прямой, проходящей через точку Q
параллельно AB
. Пусть эта прямая пересекает рёбра AD
и BD
в точках E
и F
соответственно. Из условия задачи следует, что A
— середина CK
, а так как AH\parallel KL
, то H
— середина отрезка CL
, а тогда Q
— середина высоты DH
, и EF
— средняя линия треугольника DEF
, который и есть сечение пирамиды ABCD
плоскостью, о которой говорится в условии задачи.
Поскольку Q
— середина стороны DH
прямоугольника CHDM
, коэффициент подобия треугольников DPQ
и CPM
равен \frac{DQ}{CM}=\frac{1}{2}
, поэтому
PQ=\frac{1}{3}MQ=\frac{1}{3}\sqrt{DM^{2}+DQ^{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{CH^{2}+\left(\frac{1}{2}DH\right)^{2}}=
=\frac{1}{3}\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{3+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{6},
а так как EF
— средняя линия треугольника ABD
, то PQ=\frac{1}{2}AB=1
. Треугольник PEF
равнобедренный с основанием EF=\frac{1}{2}AB=1
. Следовательно,
S_{\triangle PEF}=\frac{1}{2}EF\cdot PQ=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{\sqrt{13}}{6}=\frac{\sqrt{13}}{12}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1992, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1992 с. 160, задача 5, вариант 3