14978. Пусть ABCD
— правильная треугольная пирамида, все рёбра которой равны 1. На луче AB
выбрана точка M
(AM\gt AB
), причём косинус угла между прямыми AC
и DM
равен \frac{1}{4}
. Найдите BM
.
Ответ. \frac{1+\sqrt{13}}{6}
.
Решение. Пусть BM=x
, а P
и Q
ортогональные проекции точек соответственно D
и M
на прямую AC
. Тогда P
— середина AC
, поэтому отрезок PQ
— ортогональная проекция и отрезка DM
, и отрезка BM
. Значит,
PQ=BM\cdot\cos\angle BAC=1\cdot\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}x.
Пусть угол между прямыми AC
и DM
равен \alpha
. Тогда
PQ=DM\cos\alpha=\frac{1}{4}DM.
По теореме косинусов из треугольника ADM
получаем
DM^{2}=AD^{2}+AM^{2}-2AD\cdot AM\cos60^{\circ}=1+(x+1)^{2}-2\cdot1\cdot(x+1)\cdot\frac{1}{2}=x^{2}+x+1,
поэтому
\frac{1}{2}x=PQ=\frac{1}{4}DM=\frac{1}{4}\sqrt{x^{2}+x+1},~\mbox{или}~x^{2}=\frac{1}{4}(x^{2}+x+1)~\Leftrightarrow~3x^{2}-x-1=0.
Геометрическому смыслу задачи удовлетворяет только положительный корень x=\frac{1+\sqrt{13}}{6}
этого уравнения.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1994, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994 с. 163, задача 5, вариант 2