14979. В основании правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит квадрат ABCD
. Все рёбра пирамиды равны 1. На луче AD
выбрана точка M
, причём косинус угла, образованного прямыми SM
и DC
, равен \frac{1}{3}
. Найдите AM
.
Ответ. \frac{1+\sqrt{6}}{2}
.
Решение. Пусть AM=x
, \varphi
— угол между прямыми SM
и CD
, P
— середина ребра CD
. Тогда отрезок DP
— ортогональная проекция отрезка SM
на прямую CD
, поэтому
SM=\frac{DP}{\cos\varphi}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}.
В то же время, из треугольника ASM
по теореме косинусов получаем, что
SM^{2}=AS^{2}+AM^{2}-2AS\cdot AM\cos60^{\circ}=1+x^{2}+2\cdot1\cdot x\cdot\frac{1}{2}=x^{2}+x+1.
Тогда
\frac{9}{4}=SM^{2}=x^{2}+x+1,~\mbox{или}~4x^{2}-4x-5=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень x=\frac{1+\sqrt{6}}{2}
этого уравнения.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1994, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994 с. 164, задача 5, вариант 2