14980. Пусть ABCD
— правильная треугольная пирамида. Все рёбра пирамиды равны 1. На ребре AB
выбрана точка M
, причём косинус угла, образованного прямыми AC
и DM
, равен \frac{1}{6}
. Найдите BM
.
Ответ. \frac{\sqrt{33}-1}{16}
.
Указание. Пусть BM=x
; P
и Q
— ортогональные проекции точек M
и D
на прямую AC
. Тогда PQ=\frac{x}{2}
. С другой стороны, PQ=\frac{1}{6}DM
. Выразив DM
по теореме косинусов из треугольника ADM
, получим уравнение для x
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1994, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994 с. 164, задача 5, вариант 3