14981. Пусть SABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD
, все рёбра которой равны 1. Точка M
лежит на ребре AD
, а косинус угла, образованного прямыми SM
и AB
, равен \frac{5}{9}
.
Ответ. \frac{5\pm\sqrt{6}-1}{10}
.
Указание. Пусть \varphi
— угол между прямыми SM
и AB
, P
— середина AB
. Тогда отрезок AP
— ортогональная проекция отрезка SM
на прямую AB
, откуда SM=\frac{AB}{\cos\varphi}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{9}}=\frac{9}{10}
. Теперь отрезок AM
можно найти по теореме косинусов из треугольника ASM
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1994, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994 с. 165, задача 5, вариант 4