1499. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
сторона AB
равна диагонали BD
, кроме того, \angle BAC=30^{\circ}
, \angle ADC=150^{\circ}
. Докажите, что диагональ AC
лежит на биссектрисе угла BCD
.
Решение. Пусть B_{1}
— точка, симметричная вершине B
относительно прямой AC
. Тогда треугольник ABB_{1}
— равносторонний (равнобедренный треугольник с углом 60^{\circ}
).
Докажем, что луч BB_{1}
проходит между сторонами угла ABD
. Действительно, в треугольнике ACD
известно, что \angle ADC=150^{\circ}
, поэтому \angle CAD\lt30^{\circ}
. Тогда
\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=30^{\circ}+\angle CAD\lt60^{\circ},
а так как треугольник ABD
равнобедренный, то
\angle ABD=180^{\circ}-2\angle BAD\gt180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}=\angle ABB_{1}.
Что и требовалось доказать.
Вернёмся к нашей задаче. Поскольку BD=BA=BB_{1}
, точки A
, D
и B_{1}
лежат на окружности с центром B
. Вписанный в эту окружность угол ADB_{1}
равен половине центрального угла ABB_{1}
, т. е. \angle ADB_{1}=30^{\circ}
. Значит,
\angle CDB_{1}=\angle CDB+\angle ADB_{1}=150^{\circ}+30^{\circ}=180^{\circ},
поэтому точки C
, D
и B_{1}
лежат на одной прямой. Треугольники ADC
и ABC
равны, так как они симметричны относительно прямой AC
. Следовательно, \angle ACD=\angle ACB
. Что и требовалось доказать.