14990. Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D'
— прямоугольник ABCD
со сторонами AB=6
, BC=9
; боковые рёбра AA'
, BB'
, CC'
, DD'
равны 3. На диагонали A'C
параллелепипеда выбрана точка P
, причём угол между векторами \overrightarrow{AD}
и \overrightarrow{AP}
равен \arctg\frac{2\sqrt{2}}{3}
. Найдите отношение A'P:PC
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат Axyz
с началом в точке A
, направив ось Ax
по лучу AB
, ось AY
— по лучу AD
, ось Az
— по лучу AA'
. Обозначим угол между векторами \overrightarrow{AD}
и \overrightarrow{AP}
через \alpha
(\alpha=\arctg\frac{2\sqrt{2}}{3}
). Тогда
\cos\alpha=\frac{1}{1+\tg^{2}\alpha}=\frac{1}{1+\frac{8}{9}}=\frac{3}{\sqrt{17}}.
Найдём координаты точек
A(0;0;0),~B(6;0;0),~C(6;9;0),~A'(0;0;3),~D(0;3;0).
Тогда
\overrightarrow{AA'}=(0;0;3),~\overrightarrow{AD}=(0;9;0)~\overrightarrow{AB}=(6;0;0),~\overrightarrow{BC}=(0;9;0)
\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(0;0;-3)+(6;0;0)+(0;9;0)=(6;9;-3).
Пусть A'P:A'C=x
. Тогда
\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AA'}+x\cdot\overrightarrow{A'C}=(0;0;3)+(6x;9x;-3x)=(6x;9x;3-3x),
|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{36x^{2}+81x^{2}+9(1-x)^{2}}=\sqrt{126x^{2}-18x+9}=3\sqrt{14x^{2}-2x+1}.
В то же время,
\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AD}|\cdot|\overrightarrow{AP}|}=\frac{0\cdot6x+9\cdot9x+0\cdot(3-3x)}{9\cdot3\sqrt{14x^{2}-2x+1}}=\frac{81x}{27\sqrt{14x^{2}-2x+1}}.
Значит,
\frac{3}{\sqrt{17}}=\frac{81x}{27\sqrt{14x^{2}-2x+1}},~\mbox{или}~\sqrt{14x^{2}-2x+1}=x\sqrt{17}.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень x=\frac{1}{3}
этого уравнения. Следовательно,
\overrightarrow{A'P}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A'C}~\Rightarrow~\frac{A'P}{PC}=\frac{1}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1997, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997 с. 173, задача 5, вариант 1.1