14995. Основание треугольной призмы ABCA'B'C'
с боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
— равносторонний треугольник ABC
со стороной 2. Через середины K
и L
отрезков A'B'
и BC'
проведена прямая, которая пересекает плоскость основания ABC
в точке M
. Найдите расстояние от точки M
до центра O
вписанной в треугольник ABC
окружности.
Ответ. \sqrt{\frac{7}{3}}
.
Решение. Через пересекающиеся прямые C'K
и KL
проведём плоскость. Эта плоскость содержит точку M
плоскости ABC
и проходит через прямую, проведённую через точку M
параллельно C'K
, а значит, и медиане CN
треугольника ABC
. Треугольник BLM
равен треугольнику C'LK
по стороне (BL=C'L
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому BM=C'K=CN
и BM\parallel CN
. Тогда BMCN
— прямоугольник со сторонами
CM=BN=\frac{1}{2}AB=1,~MB=CN=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Центр O
вписанной в треугольник ABC
окружности совпадает с центром равностороннего треугольника ABC
, поэтому
OC=\frac{2}{3}CN=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Из прямоугольного треугольника OMC
находим, что
MO=\sqrt{CM^{2}+OC^{2}}=\sqrt{1+\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1997, задача 5, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997 с. 176, задача 5, вариант 2.2