14998. В правильной треугольной призме ABCA'B'C'
с боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
точки M
и K
— середины отрезков A'B'
и A'C
соответственно. Известно, что прямая MK
образует угол 45^{\circ}
с плоскостью AA'B'B
, MK=3
. Найдите объём призмы ABCA'B'C'
.
Ответ. 36.
Решение. Проведём через точку K
сечение призмы плоскостью, параллельной плоскости основания ABC
. В сечении получится правильный треугольник PQR
, причём точки P
, Q
и R
— середины рёбер AA'
, CC'
и BB'
соответственно. Опустим из точки K
перпендикуляр KN
на плоскость AA'B'B
. Плоскости PQR
и AA'B'B
перпендикулярны, поэтому отрезок KN
лежит в плоскости PQR
, а точка N
лежит на отрезке PR
. По условию, в прямоугольном треугольнике NKM
известно, что \angle MNK=45^{\circ}
, MK=3
. Значит,
MN=KN=MK\sin45^{\circ}=\frac{3}{\sqrt{2}}.
Учитывая, что K
—середина отрезка PQ
и
PK=\frac{NK}{\sin60^{\circ}}=\frac{\frac{3}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{6},
получаем AC=PQ=2\sqrt{6}
.
Заметим, что
A'M=\frac{1}{2}A'B'=PK,~PN=\frac{1}{2}PK=\frac{1}{2}A'M.
Значит, прямая MN
проходит через точку A
.
В прямоугольном треугольнике AA'M
известно, что
AM=2MN=2\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=3\sqrt{6},~A'M=\sqrt{6}.
Отсюда находим высоту призмы
AA'=\sqrt{AM^{2}-A'M^{2}}=\sqrt{18-6}=2\sqrt{3}.
Следовательно, объём призмы
V=S_{\triangle ABC}\cdot AA'=\frac{AC^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{3}=\frac{(4\cdot6)\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{3}=36.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1998, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998 с. 178, задача 5, вариант 1.1