15002. Основание правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
— квадрат ABCD
со стороной 2, боковые рёбра пирамиды равны \sqrt{10}
. В плоскости основания проведена прямая, которая касается вписанной в квадрат ABCD
окружности и пересекает рёбра BC
и CD
в точках M
и N
, причём MN=\frac{5}{6}
Найдите объём пирамиды SMNC
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{9}
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной в квадрат окружности. Обозначим через P
и Q
точки её касания со сторонами BC
и CD
соответственно, через K
— точку касания окружности с прямой MN
. Очевидно, что P
и Q
— середины сторон BC
и CD
. Поскольку пирамида SABCD
правильная, SO
— её высота.
В прямоугольном треугольнике BSO
известно, что
BS=\sqrt{10},~BO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}~\Rightarrow~SO^{2}=BS^{2}-BO^{2}=10-2=8.
Чтобы найти объём пирамиды SMNC
, зная её высоту SO
, достаточно найти площадь основания MNC
. Пусть MC=x
, NC=y
. Учитывая, что треугольник MNC
прямоугольный, и используя теорему Пифагора, получаем
x^{2}+y^{2}=MN^{2}=\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}.
В то же время
(1-x)+(1-y)=MP+NQ=MK+NK=MN=\frac{5}{6},~\mbox{или}~x+y=\frac{7}{6}.
Из системы
\syst{x+y=\frac{7}{6}\\x^{2}+y^{2}=\frac{25}{36}\\}
находим CM=x=\frac{1}{2}
и CN=y=\frac{2}{3}
(или CM=\frac{2}{3}
и CN=\frac{1}{2}
). Следовательно,
S_{\triangle MNC}=\frac{1}{2}CM\cdot CN=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{6},
V_{SMNC}=\frac{1}{3}S_{\triangle MNC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}\cdot2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{9}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1998, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998 с. 181, задача 5, вариант 2.1