15004. В основании правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит квадрат ABCD
со стороной 2. В плоскости основания проведена прямая, которая касается вписанной в квадрат ABCD
окружности и пересекает рёбра BC
и CD
в точках M
и N
. Известно, что MN=\frac{13}{15}
, а объём пирамиды SMNC
равен \frac{4\sqrt{6}}{45}
. Найдите двугранный угол между плоскостью основания и боковой гранью пирамиды.
Ответ. \arctg2\sqrt{6}
.
Указание. Пусть P
, Q
и K
— точки касания окружности с прямыми BC
, CD
и MN
соответственно. По теореме Пифагора
CM^{2}+CN^{2}=MN^{2}=\frac{169}{225}.
С другой стороны,
CM+CN=(CP-MP)+(CQ-NQ)=CP+CQ-(MP+NQ)=
=2-(MK+NK)=2-MN=\frac{17}{15}.
Получилась система уравнений относительно CM
и CN
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1998, задача 5, вариант 2.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998 с. 182, задача 5, вариант 2.3