15005. В основании правильной треугольной пирамиды SABC
лежит равносторонний треугольник ABC
со стороной 2, боковые рёбра пирамиды равны \sqrt{2}
. В плоскости основания проведена прямая, которая касается вписанной в треугольник ABC
окружности и пересекает рёбра AB
и AC
в точках M
и N
, причём MN=\frac{7}{9}
. Найдите объём пирамиды SAMN
.
Ответ. \frac{2\sqrt{2}}{81}
.
Указание. Пусть P
, Q
и K
— точки касания окружности с прямыми AB
, AC
и MN
соответственно. По теореме косинусов
AM^{2}+AN^{2}-AM\cdot AN=MN^{2}=\frac{49}{81}.
С другой стороны,
AM+AN=(AP-MP)+(AQ-NQ)=AP+AQ-(MP+NQ)=
=2-(MK+NK)=2-MN=\frac{11}{19}.
Получилась система уравнений относительно AM
и AN
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1998, задача 5, вариант 2.4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998 с. 183, задача 5, вариант 2.4