15010. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
рёбра основания ABCD
равны 2, боковые ребра равны 3\sqrt{3}
. Точки M
и N
— середины рёбер AB
и AS
соответственно. Найдите объём пирамиды DMNSB
.
Решение. Пусть V
— объём данной пирамиды SABCD
, O
— центр её основания ABCD
, т. е. точка пересечения диагоналей квадрата ABCD
, а SO
— высота пирамиды. Тогда
BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot AB\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}=\sqrt{2}
SO=\sqrt{SB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{27-2}=5.
Значит,
V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot2^{2}\cdot5=\frac{20}{3}.
Следовательно, объём v
треугольной пирамиды SABD
равен половине объёма данной пирамиды, так как площадь основания ABC
пирамиды SABC
вдвое меньше площади основания ABCD
пирамиды SABCD
, а SO
— общая высота этих пирамид, т. е. v=\frac{1}{2}V=\frac{10}{3}
.
Рассмотрим многогранник SABD
как пирамиду с вершиной D
и основанием SAB
. Высота, опущенная из вершины D
на плоскость основания, у пирамид DSAB
и DMNSB
общая, а так как MN
— средняя линия треугольника SAB
, то площадь трапеции MNSB
составляет \frac{3}{4}
площади треугольника SAB
.
Рассмотрим многогранник DMNSB
как четырёхугольную пирамиду с вершиной D
и основанием MNSB
. Тогда
V_{DMNSB}=\frac{3}{4}v=\frac{3}{4}\cdot\frac{10}{3}=\frac{5}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1999, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999 с. 185, задача 5, вариант 2.1