15020. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит треугольник ABC
со сторонами AB=3
, AC=\sqrt{15}
и BC=2\sqrt{6}
. Все боковые рёбра пирамиды равны \frac{7}{2}
. Сфера, центр которой лежит на ребре SA
, касается плоскости основания пирамиды и проходит через точку S
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{35}{24}
.
Указание. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник ABC
. Основание высоты SH
пирамиды — середина H
его гипотенузы BC
и SH=\frac{5}{2}
. Пусть O
— центр сферы, M
— точка её касания с плоскостью основания. Если R
— искомый радиус, то SO=OM=R
, AO=\frac{7}{2}-R
, и R
можно найти из подобия треугольников ASH
и AOM
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 5, вариант 2.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000 с. 190, задача 5, вариант 2.3