15021. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит треугольник ABC
, причём \angle ACB=90^{\circ}
и BC=2
. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. Сфера, центр которой лежит на продолжении ребра SC
за точку S
, касается плоскости основания пирамиды и проходит через точку S
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{16\sqrt{2}}{3}
.
Указание. Пусть O
— центр сферы, M
— точка её касания с плоскостью основания, H
— середина гипотенузы AB
. Тогда SH
— высота пирамиды, прямые SH
и OM
параллельны. Из подобия треугольников SCH
и OCM
находим, что SH=4
, CH=3
, AB=6
, AC=4\sqrt{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 5, вариант 2.4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000 с. 190, задача 5, вариант 2.4