15026. В пирамиде ABCD
рёбра AB
, BC
, CD
попарно перпендикулярны. Известно, что расстояние между серединами рёбер AD
и BC
равно 1, а расстояние между серединами рёбер AB
и CD
равно 7. Найдите ребро BC
.
Ответ. 4\sqrt{3}
.
Решение. Пусть E
, F
, K
, M
, N
— середины рёбер AD
, BC
, AC
, AB
и DC
соответственно. Прямая CD
перпендикулярна пересекающимся прямым BC
и AB
плоскости ABC
, поэтому DC
— перпендикуляр к плоскости AB
, а так как EK\parallel CD
(как средняя линия прямоугольного треугольника ACD
, то EK
— тоже перпендикуляр к плоскости ACD
. Кроме того,
EK=\frac{1}{2}CD=CN,~FK=\frac{1}{2}AB=BM.
Из прямоугольных треугольников EFK
, BCM
и CMN
по теореме Пифагора находим, что
FK^{2}+KE^{2}=FE^{2}=1,~CM^{2}=BC^{2}+BM^{2},
NM^{2}=CM^{2}+CN^{2}=BC^{2}+BM^{2}+CN^{2}=49.
Следовательно, из равенства
BM^{2}+CN^{2}=FK^{2}+KE^{2}=1,
находим, что
BC^{2}=49-(BM^{2}+CN^{2})=49-1=48~\Rightarrow~BC=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2001, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001 с. 194, задача 5, вариант 2.2