1503. Каждая из боковых сторон AB
и CD
трапеции ABCD
разделена на пять равных частей. Пусть M
и N
— вторые точки деления на боковых сторонах, считая от вершин B
и C
соответственно. Найдите MN
, если основания AD=a
и BC=b
.
Ответ. \frac{2a+3b}{5}
.
Указание. Проведите диагональ трапеции.
Решение. Проведём через точку M
прямую, параллельную основаниям. Пусть N_{1}
— точка её пересечения с CD
. Из теоремы Фалеса следует, что CN_{1}=\frac{2}{5}CD=CN
. Поэтому точка N_{1}
совпадает с N
. Следовательно, MN\parallel AD
.
Первый способ. Проведём диагональ AC
и обозначим через K
точку её пересечения с MN
. Из подобия треугольников AMK
и ABC
находим, что MK=\frac{3}{5}b
, а из подобия треугольников CKN
и CAD
— KN=\frac{2}{5}a
. Следовательно,
MN=MK+KN=\frac{2a+3b}{5}.
Второй способ. Предположим, что a\gt b
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
. Пусть P
— точка её пересечения с основанием AD
, а Q
— с отрезком MN
. Из подобия треугольников CQN
и CPD
находим, что
QN=\frac{2}{5}PD=\frac{2}{5}(a-b).
Тогда
MN=b+\frac{2}{5}(a-b)=\frac{2a+3b}{5}.
Аналогично для a\lt b
.
Примечание. Аналогично для общего случая: если точки M
и N
лежат на боковых сторонах соответственно AB
и CD
трапеции ABCD
, причём AM:MB=DN:NC=m:n
и AD=a
, BC=b
, то MN=\frac{na+mb}{m+n}
.