15030. В правильную треугольную призму ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
вписана сфера с центром O
. Прямая A_{1}O
пересекает плоскости граней BB_{1}C_{1}C
и ABC
в точках K
и M
соответственно. Найдите объём призмы, если KM=\frac{5}{2}
.
Ответ. 30\sqrt{15}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в основания A_{1}B_{1}C_{1}
и ABC
соответственно. Центр O
сферы — середина отрезка O_{1}O_{2}
, её радиус r
равен радиусу окружностей (ортогональных проекций сферы на плоскости оснований призмы), вписанных в основания ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, высота призмы равна 2r
.
Рассмотрим сечение призмы плоскостью AA_{1}O
. Пусть N
— точка её пересечения с ребром BC
. Из подобия треугольников AA_{1}M
, O_{2}OM
и NKM
, находим, что
r=O_{2}N=NM,~KN=\frac{1}{2}OO_{2}=\frac{r}{2}.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника KNM
получаем
MN^{2}+NK^{2}=KM^{2}~\mbox{или}~r^{2}+\frac{r^{2}}{4}=\frac{25}{4}~\Rightarrow~\frac{5}{4}r^{2}=\frac{25}{4}~\Rightarrow~r=\sqrt{5}.
Обозначим сторону основания призмы, площадь основания и объём призмы через a
, S
и V
соответственно. Тогда
a=2r\sqrt{3}=2\sqrt{15},~S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=15\sqrt{3}~\Rightarrow~V=S\cdot2r=15\sqrt{3}\cdot2\sqrt{5}=30\sqrt{15}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2002, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002 с. 197, задача 5, вариант 1.1