15034. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=4
и BC=3
. Боковые рёбра AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
параллелепипеда равны 12. Точки M
, N
и F
— середины рёбер A_{1}B_{1}
, CC_{1}
и AD
соответственно. Плоскость FB_{1}D_{1}
пересекает отрезок MN
в точке K
. Найдите отрезок NK
.
Ответ. 5.
Решение. Пусть L
— середина ребра AB
. Плоскость FB_{1}D_{1}
пересекает плоскость основания ABCD
по прямой FL
, параллельной B_{1}D_{1}
. Обозначим через Q
точку пересечения отрезков C_{1}M
и B_{1}D_{1}
. Из подобия треугольников MQB_{1}
и C_{1}QD_{1}
получаем, что
MQ=\frac{1}{2}C_{1}Q=\frac{1}{3}MC_{1}.
Плоскость MCC_{1}
проходит через точку L
и содержит отрезок MN
. Пусть прямые MN
и LC
, лежащие в плоскости MCC_{1}
, пересекаются в точке P
. Из равенства прямоугольных треугольников MC_{1}N
и PCN
следует, что
PC=MC_{1}=CL,~PL=2MC_{1},~PM=2MN.
Точка K
, заданная в условии задачи, — это точка пересечения отрезков LQ
и MN
. Из подобных треугольниках MKQ
и PKL
получаем,, что \frac{MK}{MQ}=\frac{KP}{PL}
. Значит,
MK=\frac{MQ}{PL}\cdot KP=\frac{\frac{1}{3}MC_{1}}{2MC_{1}}\cdot KP=\frac{1}{6}KP=\frac{1}{7}MP=\frac{2}{7}MN~\Rightarrow
\Rightarrow~KN=MN-MK=MN-\frac{2}{7}MN=\frac{5}{7}MN.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников MB_{1}C_{1}
и MC_{1}N
находим, что
MC_{1}^{2}=MB_{1}^{2}+B_{1}C_{1}^{2}=13,~MN=MC_{1}^{2}+C_{1}N^{2}=13+36=49.
Следовательно,
MN=7,~KN=\frac{5}{7}MN=5.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2002, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002 с. 199, задача 5, вариант 2.1