15038. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит равносторонний треугольник ABC
. Рёбра SB
и SC
перпендикулярны и образуют с плоскостью основания углы \arcsin\frac{1}{3}
и \arcsin\frac{1}{4}
соответственно, а расстояние от вершины A
до плоскости SBC
равно 25. Найдите объём пирамиды SABC
.
Ответ. 9600.
Решение. Пусть SH=h
, AP=25
— высоты пирамиды, V
— её объём. Тогда
SB=\frac{SH}{\sin\angle SBH}=\frac{h}{\frac{1}{3}}=3h,~SC=\frac{SH}{\sin\angle SCH}=\frac{h}{\frac{1}{4}}=4h,
BC^{2}=BS^{2}+CS^{2}=9h^{2}+16h^{2}=25h^{2}.
Значит,
S_{\triangle SBC}=\frac{1}{2}SB\cdot SC=6h^{2},~V=\frac{1}{3}S_{\triangle BSC}\cdot AP=\frac{1}{3}\cdot6h^{2}\cdot25=50h^{2}.
С другой стороны,
S_{\triangle ABC}=\frac{BC^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{25h^{2}\sqrt{3}}{4},~V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot\frac{25h^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{25h^{3}\sqrt{3}}{12}.
Тогда
\frac{25h^{3}\sqrt{3}}{12}=\frac{25}{3}h^{2}~\Rightarrow~h=8\sqrt{3}.
Следовательно,
V=50h^{2}=50\cdot64\cdot3=9600.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2003, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2003 с. 202, задача 5, вариант 1.1