15046. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
рёбра равны 1. Точка K
— середина ребра A_{1}B_{1}
, а точка N
— центр грани AA_{1}D_{1}D
. Плоскость, проходящая через точки B
, K
и N
, пересекает прямые A_{1}C_{1}
и CD
в точках Q
и S
соответственно. Найдите отрезок QS
.
Ответ. \frac{\sqrt{213}}{10}
.
Решение. Введём систему координат, поместив её начало в вершину A
куба и направив оси Ax
, Ay
и Az
вдоль лучей AB
, AD
и AA_{1}
соответственно.
Пусть прямые BK
и AA_{1}
пересекаются в точке M
. Из равенства треугольников MKA_{1}
и BKB_{1}
получаем, что A_{1}M=BB_{1}=1
. Пусть прямая MN
пересекает рёбра AD
и A_{1}D_{1}
куба в точках P
и L
. Тогда A_{1}L
— средняя линия треугольника MAP
, поэтому
A_{1}L=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}LD_{1}=\frac{1}{2}(1-A_{1}L)~\Rightarrow~A_{1}L=\frac{1}{3},~AP=\frac{2}{3}.
Прямые KL
и BP
лежат в заданной плоскости BKN
, Q
— точка пересечения прямых KL
и A_{1}C_{1}
, S
— точка пересечения прямых BP
и CD
. Пусть прямые KL
и C_{1}D_{1}
пересекаются в точке T
. Треугольник KLA_{1}
подобен треугольнику TLD_{1}
с коэффициентом \frac{LA_{1}}{LD_{1}}=\frac{1}{2}
, поэтому
\frac{KA_{1}}{TD_{1}}=\frac{LA_{1}}{LD_{1}}=1:2~TD_{1}=2KA_{1}=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Треугольник A_{1}QK
подобен треугольнику C_{1}QT
, поэтому
\frac{A_{1}Q}{C_{1}Q}=\frac{A_{1}K}{C_{1}T}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4},~A_{1}Q=\frac{1}{5}A_{1}C.
И наконец, треугольник DPS
подобен треугольнику APB
с коэффициентом \frac{PD}{AP}=\frac{1}{2}
, поэтому
SD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.
Теперь найдём координаты точек S\left(-\frac{1}{2};1;0\right)
и Q\left(\frac{1}{5};\frac{1}{5};1\right)
. Следовательно,
QS=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)^{2}+\left(1-\frac{1}{5}\right)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}+\frac{36}{25}+1}=\frac{\sqrt{213}}{10}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2004, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004 с. 206, задача 5, вариант 1.1