1505. Большее основание AD
трапеции ABCD
равно a
, меньшее — BC=b
. Диагональ AC
разделена на три равные части и через ближайшую к A
точку деления M
проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отрезок этой прямой, заключённый между диагоналями.
Ответ. \frac{2a-b}{3}
.
Указание. Пусть K
— точка пересечения указанной прямой со стороной CD
. Найдите MK
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения указанной прямой с боковой стороной CD
, N
— с диагональю BD
.
Поскольку MK\parallel AD
, то
DK:KC=AM:MC=1:2,~DN:NB=DK:KC=1:2.
Из подобия треугольников CMK
и CAD
находим, что
MK=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}a,
а из подобия треугольников DKN
и DCB
—
NK=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}b.
Следовательно,
MN=MK-NK=\frac{2a-b}{3}.
Примечание. Аналогично для общего случая: если точка M
лежит на диагонали AC
трапеции ABCD
с основаниями AD=a
и BC=b
, причём AM:MC=k:l
, то отрезок прямой, проходящей через точку M
параллельно основаниям трапеции и заключённый внутри трапеции, равен \frac{|al-bk|}{k+l}
.