15058. Основание прямой призмы ABCA'B'C'
с боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
— правильный треугольник ABC
. Все рёбра призмы равны 1; M
и N
— середины рёбер BB'
и CC'
соответственно. Через центр треугольника ABC
проходит прямая, пересекающая прямые AB'
и MN
в точках P
и Q
. Найдите отрезок PQ
.
Ответ. \frac{\sqrt{57}}{4}
.
Указание. Проведите плоскость через прямую MN
и не лежащую на ней точку O
. Эта плоскость пересекается с плоскостью ABC
по прямой, параллельной MN
.
Решение. Пусть O
— центр равностороннего треугольника ABC
. Проведём плоскость \alpha
через прямую MN
и не лежащую на ней точку O
. Эта плоскость проходит через прямую MN
, параллельную плоскости ABC
и пересекает плоскость ABC
по прямой a
, проходящей через точку O
. Значит, прямая a
параллельна MN
, а так как MN\parallel BC
, то прямая a
параллельна прямой BC
. Пусть прямая a
пересекает стороны AB
и AC
треугольника ABC
в точках D
и E
соответственно. Поскольку O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
,
\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}.
Прямые DM
и AB'
лежат в плоскости AA'B'B
и пересекаются в некоторой точке Q
. Продолжим A'B'
до пересечения с DQ
в точке F
. Тогда
B'F=BD=\frac{1}{2}AD,~\frac{QB'}{QA}=\frac{B'F}{AD}=\frac{1}{2},
\frac{QM}{QD}=\frac{QF+FM}{QD}=\frac{QF}{QD}+\frac{FM}{QD}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Пусть прямые OQ
и MN
пересекается в точке P
. Из подобия треугольников QMP
и QDO
находим, что
\frac{PQ}{QO}=\frac{QM}{QD}=\frac{3}{4}~\Rightarrow~PQ=\frac{3}{4}QO.
Поскольку B'F=\frac{1}{2}AD
и B'F\parallel AD
, то B'F
— средняя линия треугольника AQD
. Пусть QH
— перпендикуляр к плоскости ABC
. Тогда точка H
лежит на прямой AB
, а так как B'
— середина AQ
, то QH=2BB'=2
. Поскольку \angle QAH=\angle BAB'=45^{\circ}
, то AH=QH=2
.
Пусть N
— середина ребра AB
. Тогда
HN=HB+BN=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}~\Rightarrow~OH^{2}=HN^{2}+ON^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\frac{1}{12}=\frac{7}{3}.
Из прямоугольного треугольника OHQ
находим, что
OQ=\sqrt{OH^{2}+QH^{2}}=\sqrt{\frac{7}{3}+4}=\sqrt{\frac{19}{3}}=\frac{\sqrt{57}}{3}.
Следовательно,
PQ=\frac{3}{4}QO=\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{57}}{3}=\frac{\sqrt{57}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1978, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978 с. 17, задача 5, вариант 2