15060. В основании прямой призмы ABCDA'B'C'D'
лежит равнобедренная трапеция ABCD
с острым углом 60^{\circ}
. Основание AB
трапеции равно 2; основание CD
трапеции и боковые рёбра AA'
, BB'
, CC'
, DD'
призмы равны 1. Точка M
— середина ребра BB'
, а N
— середина ребра A'B'
. Через точку M
проходит прямая, пересекающая прямые AD'
и C'N
в точках P
и Q
. Найдите отрезок PQ
.
Ответ. \frac{\sqrt{17}}{4}
.
Указание. Прямая PQ
есть прямая пересечения плоскостей MC'N
и MAD'
. Пусть P
— точка пересечения AD'
с плоскостью MC'N
, а Q
— точка пересечения прямой MP
с прямой C'N
. Для построения точки P
заметим, что прямая C'N
параллельна A'D'
, поэтому прямая пересечения плоскостей MC'N
и AA'D'D
, проходящая через точку P
, также параллельна A'D'
. Продолжив отрезок MN
до пересечения с прямой AA'
в некоторой точке E
, проведём через точку E
прямую, параллельную A'D'
. Точка пересечения этой прямой с продолжением AD'
и есть искомая точка P
; тогда Q
—точка пересечения прямой MP
с отрезком C'N
.
Из равенства треугольников MB'N
и EA'N
следует, что A'E=\frac{1}{2}
. Точки P
и E
равноудалены от плоскости ABCD
, поэтому перпендикуляр PF
к плоскости ABCD
равен EA
, т. е. \frac{3}{2}
. Кроме того, точки M
и P
равноудалены от плоскости A'B'C'D'
, поэтому PQ=\frac{1}{2}PM
. По теореме Пифагора
MP^{2}=\frac{4}{9}PF^{2}+BF^{2},~\mbox{где}~BF^{2}=AB^{2}+AF^{2}-2AB\cdot AF\cos60^{\circ}=\frac{13}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1978, задача 5, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978 с. 19, задача 5, вариант 5