15061. Дан куб ABCDA'B'C'D'
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
. Точка M
— середина ребра CC'
. Через точку M
проходит прямая, пересекающая прямые AD
и BD'
в точках P
и Q
. Найдите отрезок PQ
, если ребро куба равно 1.
Ответ. \frac{\sqrt{21}}{3}
.
Решение. Сечение куба плоскостью \alpha
, проходящей точку M
и прямую BD'
, — ромб BMD'N
, вершина N
которого — середина ребра AA'
. Пусть P
— точка пересечения прямых D'N
и AD
, F
— точка пересечения прямых D'M
и CD
. Тогда PF
— прямая пересечения плоскостей \alpha
и ABCD
. На этой прямой лежит точка B
как как общая точка плоскостей \alpha
и ABCD
.
Из равенства треугольников CMF
и C'MD'
следует, что CF=C'D'=1
и MF=MD'
. Аналогично, CF=1
. Тогда PM
и D'B
— медианы треугольника PD'F
, а их точка пересечения и есть искомая точка Q
. Из равенства прямоугольных треугольников BAP
и FCB
следует, что B
— середина отрезка PF
.
Из прямоугольных треугольников CDP
и CMP
находим, что
PC^{2}=DP^{2}+CD^{2}=4+1=5,~PM=\sqrt{PC^{2}+CM^{2}}=\sqrt{5+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{2},
а так как Q
— точка пересечения медиан треугольника PD'F
, то
PQ=\frac{2}{3}PM=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{21}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1978, задача 5, вариант 6
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978 с. 19, задача 5, вариант 6