15062. Основание треугольной пирамиды
SABC
— правильный треугольник
ABC
со стороной 2. Ребро
SA
перпендикулярно плоскости основания,
SA=3
. На продолжениях рёбер
AB
и
SB
выбраны соответственно точки
M
и
N
причём точка
B
лежит на отрезке
AM
и на отрезке
SN
. Шар касается граней трёхгранного угла с рёбрами
BC
,
BM
,
BN
и плоскости
SAC
. Найдите радиус шара.
Ответ.
\sqrt{3}(2+\sqrt{3})
.
Решение. Центр шара, вписанного в двугранный угол, лежит в биссекторной плоскости этого угла, поэтому центр искомого шара расположен в биссекторной плоскости двугранного угла с ребром
SA
, т. е. в плоскости
ASD
, где
D
— середина
BC
, а также в биссекторной плоскости двугранного угла с ребром
BC
. Эта плоскость проходит через прямую
BC
и биссектрису угла
ADS
. Таким образом, центр искомого шара лежит на пересечении биссекторных плоскостей, т. е. на биссектрисе угла
ADS
(точнее, на продолжении этой биссектрисы за вершину
D
).
Пусть
O
— центр шара,
P
и
Q
— ортогональные проекции точки
O
на плоскости
MBC
и
MBN
соответственно. Прямые
OP
и
SA
параллельны, так как обе они перпендикулярны плоскости
ABC
, следовательно, прямая
OP
параллельна плоскости
MBN
. Прямая
OQ
перпендикулярна прямой
SA
, значит, прямая
OQ
параллельна плоскости
MBC
.
Пусть
R
— точка пересечения плоскости
OPQ
с прямой
MB
. Тогда прямая
OQ
параллельна прямой
PR
, а прямая
OP
параллельна прямой
QR
. Таким образом,
OPRQ
квадрат со стороной, равной искомому радиусу.
По теореме Пифагора находим, что
SD=\sqrt{SA^{2}+AD^{2}}=\sqrt{3^{2}+\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3},

а так как
SD=\sqrt{3}
, то
\angle ADS=60^{\circ}
.
Обозначим
OP=x
. Тогда
DP=OP\ctg30^{\circ}=x\sqrt{3}.

С другой стороны, из прямоугольного треугольника
APR
, учитывая, что
PR=OP=x
, а
\angle PAR=30^{\circ}
, находим, что
AP=2x~\Rightarrow~DP=AP-AD=2x-\sqrt{3}.

Следовательно,
2x-\sqrt{3}=x\sqrt{3}~\Rightarrow~x=\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\sqrt{3}(2+\sqrt{3}).

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1979, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979 с. 20, задача 5, вариант 1