15064. Основание пирамиды SABCD
— прямоугольник ABCD
со сторонами AB=1
, AD=\sqrt{6}
. Ребро SA
перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Шар, центр которого находится вне пирамиды, касается отрезков SB
, SC
и плоскостей SAD
и ABCD
. Найдите радиус шара.
Ответ. 1+\frac{1}{\sqrt{3}}
Решение. Пусть E
— середина ребра SB
. Плоскость ADE
делит пополам двугранный угол между гранями SAD
и ABCD
, поэтому центр O
искомого шара лежит в этой плоскости.
Прямая AE
перпендикулярна грани SBC
, поэтому перпендикуляр, опущенный из точки O
на грань SBC
, параллелен AE
и, следовательно, лежит в плоскости ADE
. Обозначим через P
и H
точки пересечения этого перпендикуляра с прямой AD
и гранью SBC
соответственно. Точка H
— центр круга вписанного в угол BSC
, поэтому SH
— биссектриса угла BSC
, откуда следует, что
OH^{2}=OE^{2}-HE^{2}=r^{2}-\frac{1}{6},
где r
— искомый радиус.
Кроме того,
OP=OH+HP=OH+\frac{1}{\sqrt{2}}.
Подставив сюда найденное выше значение OH
и заметив, что OP=r\sqrt{2}
, получим уравнение относительно r
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1979, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979 с. 21, задача 5, вариант 1