15065. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит прямоугольный треугольник ABC
с равными катетами AB
и AC
. Ребро SA
перпендикулярно плоскости ABC
. Точка M
— середина BC
; SM=2AM=2
. Точка K
лежит на отрезке SM
; SM=4SK
. Найдите радиус шара, касающегося граней трёхгранного угла с рёбрами AS
, AB
и AC
и плоскости, проведённой параллельно прямой BC
через точку K
и середину ребра AS
.
Ответ. \frac{1}{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})
.
Решение. Поскольку шар вписан в двугранный угол пирамиды при ребре SA
, его центр O
лежит в биссекторной плоскости этого двугранного угла, т. е. в плоскости SAM
.
Пусть L
— середина AS
. Тогда SA=\sqrt{3}
. Продолжим KL
до пересечения с плоскостью ABC
в некоторой точке N
, лежащей на прямой AC
(см. рис). Через точку S
проведём прямую, параллельную AM
. Пусть прямая KL
пересекает эту прямую в точке T
. Обозначим AN=t
. Из равенства треугольников SLT
и ALN
получаем, что ST=AN=t
, а из подобия треугольников MKN
и SKT
— MN=3ST=3t
. Тогда
1=AM=MN-AM=3t-t=2t~\Rightarrow~AN=t=\frac{1}{2},
а так как AK=\frac{1}{2}SA=\frac{\sqrt{3}}{2}
, то
\tg\angle KNM=\tg ANL=\frac{LA}{AN}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}~\Rightarrow~\angle KNM=60^{\circ}.
Точка O
равноудалена от прямых KN
и MN
, поэтому она лежит на биссектрисе угла KNM
. Пусть радиус шара равен r
, P
и Q
— ортогональные проекция точки O
на прямые MN
и AC
соответственно, а так как шар вписан в двугранный угол пирамиды при ребре AC
, равный 90^{\circ}
, то OP=PQ=r
.
Из треугольников NPO
и AQP
находим
AP=NP-AN=OP\ctg30^{\circ}-AN=r\sqrt{3}-\frac{1}{2},~AP=\frac{PQ}{\sin45^{\circ}}=r\sqrt{2}
Следовательно,
r\sqrt{3}-\frac{1}{2}=r\sqrt{2}~\Rightarrow~r=\frac{1}{2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2}).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1979, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979 с. 22, задача 5, вариант 3