15067. В тетраэдре ABCD
рёбра AC
, BC
, DC
попарно перпендикулярны. Точка M
лежит в плоскости ABC
и одинаково удалена от рёбер AB
, BC
и CD
. Точка N
лежит в плоскости BCD
и одинаково удалена от тех же рёбер. Найдите MN
, если BC=CD=\sqrt{3}
, AC=3
.
Ответ. \sqrt{7}
.
Решение. Поскольку в прямоугольном треугольнике ABC
гипотенуза AB
равна 2\sqrt{3}
, т. е. вдвое больше катета BC
, то \angle ABC=60^{\circ}
.
Точка M
равноудалена от прямых BC
и AB
, поэтому она лежит на биссектрисе угла ABC
. Опустим из точки M
перпендикуляр MC
на прямую CD
и перпендикуляр MP
на BC
. Тогда прямая MP
перпендикулярна пересекающимся прямым BC
и CD
плоскости BCD
, поэтому MP
— перпендикуляр к плоскости BCD
, а так как PC
— наклонная к этой плоскости, то MP=MC
только в случае, когда точки C
и P
совпадают. При этом
MC=BC\tg\angle CBM=\sqrt{3}\cdot\tg30^{\circ}=1.
Аналогично, точка N
лежит на биссектрисе угла BCD
, отрезок NQ
, перпендикулярный прямой BC
, перпендикулярен плоскости ABC
, а перпендикуляр NR
к прямой AB
— наклонная к той же плоскости. Тогда NQ=NR
только в случае, когда точки Q
, R
совпадают с B
. Таким образом, точка N
, лежащая на биссектрисе углов BCD
, равноудалена от луча CD
и точки B
.
Докажем, что в этом случае N
— вершина квадрата BCFN
. Обозначим через x
расстояние от точки N
до прямой CD
. Пусть F
и G
— ортогональные проекции точки N
на прямые CD
и BC
соответственно. Тогда из прямоугольного треугольника BGN
получаем
NB\geqslant NG=FC=NF,
причём равенство достигается только в случае, когда BCFN
— квадрат. Тогда
NC=BC\sqrt{2}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}.
Следовательно, из прямоугольного треугольника MCN
MN=\sqrt{CM^{2}+CN^{2}}=\sqrt{1+6}=\sqrt{7}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1980, задача 4, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 25, задача 4, вариант 2