15068. Ребро правильного тетраэдра SABC
равно 1. Точка O
— центр шара радиуса \sqrt{2}
, касающегося лучей AS
, AC
, AB
. Найдите отрезок OK
, где K
— середина SC
.
Ответ. \frac{\sqrt{11}}{2}
.
Указание. Точка O
лежит на продолжении высоты тетраэдра, опущенной из вершины A
, на расстоянии \sqrt{2}
от любой из прямых AS
, AB
или AC
. Синус угла \alpha
между этой высотой и каждой из этих прямых равен \frac{1}{\sqrt{3}}
, поэтому AO=\frac{2}{\sin\alpha}=\sqrt{6}
. Косинус угла между высотой и боковой гранью правильного тетраэдра равен \frac{2\sqrt{2}}{3}
. Отрезок OK
можно найти по теореме косинусов из треугольника AOK
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1980, задача 4, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 26, задача 4, вариант 3