15069. Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равно 1. Точка M
лежит на основании ABCD
пирамиды и одинаково удалена от рёбер AS
и DS
, причём MS=MC
. Точка N
лежит на грани SBC
, одинаково удалена от тех же рёбер, причём NS=NC
. Найдите площадь треугольника BMN
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{12}
.
Решение. Пусть P
— середина AD
, Q
— середина BC
. Точка M
лежит на отрезке PQ
. Обозначим через x
расстояние от точки M
до основания O
высоты SO
пирамиды. Тогда
SM^{2}=SO^{2}+OM^{2}=\frac{1}{2}+x^{2},~CM^{2}=(OQ\pm OM)^{2}+CQ^{2}=\left(\frac{1}{2}\pm x\right)^{2}+\frac{1}{4}.
Приравняв эти величины (MS=MC
по условию), находим, что x=0
, следовательно, точка M
совпадает с O
. Аналогично, точка N
совпадает с центром грани SBC
, а так как OB=OC=OS
, то ON
— перпендикуляр к плоскости BSC
, а треугольник ONQ
прямоугольный с катетами
BN=\frac{1}{\sqrt{3}},~ON=\sqrt{OB^{2}-BN^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
Следовательно,
S_{\triangle BMN}=S_{\triangle BON}=\frac{1}{2}BN\cdot ON=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{12}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1980, задача 4, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 26, задача 4, вариант 4