15070. Ребро правильного тетраэдра SABC
равно \sqrt{2}
; MN
— средняя линия треугольника BSC
, параллельная BC
. Шар касается лучей AS
, AB
, AC
и отрезка MN
, а его центр лежит вне тетраэдра. Найдите радиус шара.
Ответ. 1+\frac{\sqrt{5}}{4}
.
Указание. Пусть P
— середина MN
, Q
— основание высоты тетраэдра, опущенной из точки A
. Центр O
шара лежит на продолжении высоты AQ
, а так как \sin\angle BAQ=\frac{1}{\sqrt{3}}
, то AO=r\sqrt{3}
, где r
— радиус шара. С другой стороны, отрезок OP
тоже равен r
, поэтому
AO=AQ+OQ=\frac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{OP^{2}-PQ^{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{r^{2}-\frac{1}{24}}.
Приравняв найденные значения AO
, получим уравнение относительно r
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1980, задача 4, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 27, задача 4, вариант 5