15073. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
рёбра равны 1. Точки K
, L
и M
лежат на рёбрах A_{1}B_{1}
, A_{1}D_{1}
и AD
соответственно, причём A_{1}K=\frac{1}{2}
, A_{1}L=\frac{1}{3}
, AM=\frac{2}{3}
. Прямая l
пересекает прямые BK
, A_{1}C_{1}
, LM
и CD
в четырёх различных точках P
, Q
, R
и S
соответственно. Найдите отрезок PS
.
Ответ. \frac{\sqrt{231}}{8}
.
Указание. Прямые ML
и BK
пересекаются на продолжении ребра AA_{1}
в точке N
, причём A_{1}N=1
. Точка S
получается как пересечение прямых BM
и CD
, а точка QE
— прямых A_{1}C_{1}
и KL
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2004, задача 5, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 109, задача 5, вариант 1.2